2021中國(guó)石油大學(xué)（北京）數(shù)學(xué)分析研究生考試大綱 正文

碩士《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

課程名稱：數(shù)學(xué)分析
科目代碼：661
適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 
參考書(shū)目：
1、《數(shù)學(xué)分析》（上下冊(cè)）第一版，陳紀(jì)修，於崇華，金路；高等教育出版社 1999.9
    2、《數(shù)學(xué)分析》（上下冊(cè)）第二版，陳紀(jì)修，於崇華，金路；高等教育出版社 2004.10
    3、《數(shù)學(xué)分析》（上下冊(cè)），卓里奇；高等教育出版社 2006.12
4、《數(shù)學(xué)分析》（上下冊(cè)），華東師范大學(xué)，高等教育出版社  2010.7
 
    一、數(shù)列極限
    1、充分認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)系的連續(xù)性；理解并掌握確界存在定理及相關(guān)知識(shí)。
    2、充分理解數(shù)列極限的定義，熟練掌握用數(shù)列極限的定義證明有關(guān)極限問(wèn)題，以及數(shù)列極限的各種性質(zhì)及其運(yùn)算。
    3、掌握無(wú)窮大量的概念及其相關(guān)知識(shí)；熟練掌握Stolz定理的內(nèi)容及其結(jié)論及應(yīng)用。
    4、理解單調(diào)有界數(shù)列收斂定理的內(nèi)容及其結(jié)論，并能熟練解決相關(guān)的極限問(wèn)題。
    5、充分理解區(qū)間套定理、致密性定理、完備性定理各自的內(nèi)容和結(jié)論；進(jìn)一步認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)系的連續(xù)性與實(shí)數(shù)系的完備性的關(guān)系；明確有關(guān)收斂準(zhǔn)則中的各定理之間邏輯關(guān)系。
    二、函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)
    1、充分理解函數(shù)極限的定義，熟練掌握用函數(shù)極限的定義證明有關(guān)極限問(wèn)題；以及函數(shù)極限的各種性質(zhì)及其運(yùn)算。
    2、明確數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系；熟練掌握單側(cè)極限以及各種極限過(guò)程的極限。
    3、充分理解連續(xù)函數(shù)的概念，熟練掌握用連續(xù)函數(shù)的定義和運(yùn)算解決有關(guān)函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題。明確不連續(xù)點(diǎn)的類型；掌握反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。
    4、熟練掌握無(wú)窮?。ù螅┝康母拍钜约白陨淼谋容^，并能熟練應(yīng)用于極限問(wèn)題當(dāng)中。
    5、充分掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)；充分理解函數(shù)的一致連續(xù)性及相關(guān)定理。
    三、微分
    1、充分理解微分的概念、導(dǎo)數(shù)的概念，以及可微、可導(dǎo)、連續(xù)三者的關(guān)系。
    2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，做到得心應(yīng)手。
    3、理解高階導(dǎo)數(shù)和高階微分的概念，熟練掌握高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則。
    四、微分中值定理及其應(yīng)用
    1、充分理解以Lagrange中值定理為核心的各微分中值定理的內(nèi)容和結(jié)論；掌握應(yīng)用微分中值定理揭示函數(shù)自身的特征和函數(shù)之間的關(guān)系。
    2、熟練掌握應(yīng)用L’Hospital法則解決不定式的定值問(wèn)題。
    3、熟練掌握Taylor公式，并能應(yīng)用其解決極限等相關(guān)問(wèn)題。
    4、熟練掌握有關(guān)函數(shù)曲線特征（單調(diào)、極值、拐點(diǎn)、凹凸及漸進(jìn)線）的判定，并能準(zhǔn)確地繪出函數(shù)曲線的圖形。能夠運(yùn)用極值的概念分析并解決實(shí)際中的最值問(wèn)題。
    五、不定積分
    1、理解并掌握不定積分的概念、性質(zhì)；熟練掌握換元積分法、分部積分法，以及對(duì)有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、無(wú)理函數(shù)等積分問(wèn)題，能夠做到解題自如。
    六、定積分
    1、充分理解定積分的概念及其基本性質(zhì)；明確Darboux和與Riemann可積的條件。
    2、充分掌握微積分基本定理的內(nèi)容和結(jié)論，明確微分與積分、不定積分與定積分之間的關(guān)系；熟練掌握各種定積分的求解問(wèn)題。
    3、熟練掌握定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用；以及微積分在相關(guān)專業(yè)學(xué)科中的應(yīng)用。
    七、反常積分
    1、理解反常積分的概念，掌握反常積分的計(jì)算。
    2、明確反常積分的收斂問(wèn)題，掌握反常積分各種情況下的收斂判別法。
    八、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
    1、充分理解并掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；以及數(shù)列的上極限與下極限的概念和運(yùn)算。
    2、熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、無(wú)窮乘積的概念及其斂散性的判別。
    九、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
    1、明確函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本問(wèn)題及其一致收斂性的問(wèn)題；熟練掌握一致收斂級(jí)數(shù)的判別及其分析性質(zhì)。
    2、熟練掌握冪級(jí)數(shù)的斂散性、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。
  十、Euclid空間上的極限與連續(xù)
    1、充分理解Euclid空間及其相關(guān)概念，明確Euclid空間上的基本定理。
    2、充分理解多元函數(shù)的極限定義，以及累次極限的概念；熟練掌握用極限定義及其各種性質(zhì)及其運(yùn)算證明或解決有關(guān)多元函數(shù)極限問(wèn)題。
    3、充分理解多元函數(shù)的連續(xù)性，熟練掌握連續(xù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。
    十一、多元函數(shù)微分學(xué)
    1、充分理解偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，以及方向?qū)?shù)、梯度、高階導(dǎo)數(shù)和高階微分等概念；明確多元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三者的關(guān)系。
    2、熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；明確一階微分的形式不變性，以及Taylor公式的概念及其計(jì)算；。
    3、熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用；以及各種情況下極值的求解方法。
    十二、重積分
    1、充分理解重積分的概念及其基本性質(zhì)；明確可積性問(wèn)題。
    2、熟練掌握各種區(qū)域上的重積分計(jì)算，以及用變量替換解決有關(guān)重積分的計(jì)算問(wèn)題。
    3、熟練掌握反常重積分的概念及其計(jì)算；明確微分形式及相關(guān)概念，熟練掌握其計(jì)算問(wèn)題。
    十三、曲線積分、曲面積分
    1、充分理解曲線積分的概念，熟練掌握兩類曲線積分的計(jì)算及其聯(lián)系。
    2、充分理解曲面積分的概念，熟練掌握兩類曲面積分的計(jì)算及其聯(lián)系。
    3、明確各種積分的聯(lián)系，熟練掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式的內(nèi)涵及應(yīng)用；明確曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件及其應(yīng)用。
    十四、含參變量積分
    1、充分理解含參變量的常義積分及其性質(zhì)；并熟悉它的有關(guān)計(jì)算。
    2、充分理解含參變量的反常積分及其一致收斂性；并熟悉它的判別方法和一致收斂積分的性質(zhì)。
    3、熟練掌握Euler積分的概念及其計(jì)算；明確Beta函數(shù)、Gammer函數(shù)的關(guān)系。
  十五、Fourier級(jí)數(shù)
    1、明確三角級(jí)數(shù)、Fourier級(jí)數(shù)的概念及其關(guān)系；熟練掌握各類函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)。
    2、明確Dirichlid積分的含義；充分理解Riemann引理及局部性原理；熟練掌握Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法。
    3、明確Fourier級(jí)數(shù)的各有關(guān)性質(zhì)，并熟練掌握。
    4、熟悉并掌握Fourier變換和Fourier積分；明確Fourier變換的逆變換及其性質(zhì)。
   
 

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